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Semaine 15, lundi 19 janvier 2026 : dérivation et intégration des fonctions d’une variable réelle, à valeurs vectorielles ET révisions sur les équations différentielles.

Nous avons traités les exercices 1 à 5 et 8 à 15 sauf les 10 et 14 de la Planche-D1-2025-2026 jointe, ce qui donne une idée assez précise du programme de la semaine

Dans l’idéal on pourra essayer d’aborder les deux thématiques avec deux exercices (dont l’un forcément plus court, qui peut être une Question de Cours !), les voici détaillées :

• la dérivation et l’intégration des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles,  questions de cours possibles 
  • • • • Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
        • Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
        • Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
        • Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule)
        • T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
        • Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém non détaillée mais à travailler !).
        • Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles (démonstration avec les sommes de Riemann)  et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
        • Pourquoi le théorème de Rolle (et donc l’égalité des A.F.) sont ils faux dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles non scalaires?
        • Formules de Taylor à savoir parfaitement : DU SOIN POUR l’énoncé des théorèmes !  Pas juste la formule mais hypothèses de régularités précises.
• Les révisions sur les équations différentielles de première année :
  • • • résolution concrète d’E.D.linéaires du premier ordre avec la méthode de variation de la constante : les exercices 8,9,10 abordent les problèmes de raccords pour les équations différentielles singulières, c’est l’occasion aussi de révision sur les développement limités pour les raccords et bien sûr des calculs de primitives !
      • des exercices plus théoriques sur le 1er ordre où l’on voit que la M.V.C. permet une écriture plus abstraite des solutions, qui aboutit à des propriétés précises de ces solutions.
      • enfin des EDL du second ordre à coefficient constant avec second membres gentils : polynôme x exponentielle x cos ou sin. On a révisé les cas de résonance où la solution particulière n’est pas de la même forme que le second membre car celui ci correspond déjà au régime libre.

Bonne semaine !

rb

 Intégrales à paramètres

Pour ce qui est des trois  théorèmes du cours   :

• version à variable continue du théorème de convergence dominée,
• théorème de continuité pour les intégrales à paramètres
• théorème sur le caractère C^k (resp. C^infini)  des intégrales à paramètres

je cite le programme officiel :

« Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t »

On a choisi pourtant  des les expliciter par prudence par rapport aux personnes examinatrices… en hypothèse (H0) un peu triviale.

Le cours est fait autour de trois fils rouges : transformée de Laplace, transformée de Fourier et fonction Gamma.  Les exemples faits qui sont tous des exercice à savoir refaire (pas des résultats du programme) sont les suivants :

• Continuité de la TF (transformée de Fourier) d’une fonction intégrable
• Continuité sur ]0,+oo[ de la TL (transformée de Laplace) d’une fonction c.p.m.  bornée, extension à la variable complexe.
• Théorème de la valeur initiale pour la transformée de Laplace dans le cas facile d’une fonction bornée : L(f)(x)=f(0)/x+ o(1/x) quand x–>+oo.
• Lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas facile où f est de classe C^1 et f et f’ sont intégrables :  F(f)(x) –>0 pour x–>+oo
• Caractère C^1 et dérivation de la TL du sinus cardinal sur l’ouvert ]0,+oo[ : application au calcul de cette Transformée.
• En bonus pour les plus à l’aise, continuité de cette TL en 0 (intégrale semi-convergente, I.P.P pour se ramener au cadre de Lebesgue) et calcul de l’intégrale du sinus cardinal sur R¨^+.
• Calcul de la dérivée p-ième de la TF d’une fonction f  telle que pour tout k=0,1,..p, la fonction t-> t^k f(t) doit intégrable. (Si ceci est vrai pour tout p, on dit que la fonction est « à décroissance rapide »).
• Etude complète de la fonction Gamma : notamment justification soigneuse du caractère C^k et justifications pour le tracé du graphe.
• REVOIR les techniques de calculs d’intégrales et de primitives (1ère année, planche I1).
• Bien savoir aussi dériver si x est dans les bornes des intégrales (1ère année… et pas que..)

Sur la Planche-I3-2025-2026, on a traité les exercices 1,2,3, 5. Ne pas négliger les trois exercices de la banque CCINP.

Bonjour, suite à des questions légitimes sur le DM 9 (ce message sera peut-être complété au fur et à mesure de vos remarques) voici qq points :

• les questions 11 et 12 portent sur les limites respectivement la continuité d’une fonction dans la variable est à l’intérieur d’une intégrale : on parlera ‘d’intégrale à paramètre’, c’est exactement le thème du chapitre I3 que nous étudierons à la rentrée.
• En fait pour la Q11 l’énoncé propose une méthode par encadrement qui n’utilise aucun théorème (alternative : un TCD et un critère séquentiel )
• La Q12 pour la continuité utilise l’avatar « continu » du T.C.D. de Lebesgue qui se démontre à partir de celui que nous connaissons par critère séquentiel mais vous pouvez tout simplement ne pas traiter cette question 12 pour l’instant !
• Par ailleurs il y a au moins une petite erreur d’énoncé c’est instructif !

Remarque : ce DM est long, faites le par petits morceaux … certaines parties sont plus difficiles ou techniques, mais il fait réviser pas mal de choses du programme d’analyse; c’est très complémentaire au DS 4 qui portait beaucoup moins sur les théorèmes de deuxième année et faisait pas mal réviser des choses vues en 1ère année, ici on utilise tous les théorèmes !

Semaine 13 du lundi 5 janvier :révisions et compléments sur les espaces préhilbertiens et un peu d’approximation dans les espaces de fonctions.

L’essentiel est déjà de bien réviser le cours de 1ère année sur les espaces préhilbertiens et euclidien.  Prenez le temps de reprendre ces cours et les planches de 1ère année pendant ces vacances. C’est un sujet important ! 

• Définir le produit scalaire canonique de R^n, dans M_{m,n}(R) (deux expressions montrer qu’elles coïncident). 
• Théorème d’Anaïs : une base (e_1,…,e_n) est orthonormée pour un produit scalaire (. | .) si et seulement si pour tout u,v dans E, (u|v)=x_1 y_1+…+ x_n y_n  où x_1…x_n sont les coordonnées de u dans cette base (resp y_1… y_n pour v).
• Produit scalaire dans L^2,continue(I,R) (justifier la convergence des intégrales)
• Produit scalaire dans l^2(N,R) (justifier la convergence de la série… non détaillée en classe… à faire pendant les vacances, demander aux 5/2 si pb !).
• Expliquer pourquoi le p.s. est une application bilinéaire CONTINUE (savoir la caractérisation des appli. bilinéaires continues).
• Montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}.  Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
• Lemme de représentation de Riesz pour les formes linéaires d’un espace euclidien. (En dim. infinie une forme linéaire ayant une telle représentation est automatiquement continue…)
• Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E est un s.e.v. fermé de E.
• Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
• Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : application à l’exemple très important   des sommes partielles de la série de Fourier de f (formule des coeff. de Fourier).
• Le projeté orthogonal d’un vecteur v  sur un sev F est l’unique vecteur de F qui  minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
• Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur des exemples.

On insistera beaucoup sur les calculs de projections orthogonales qui doivent être bien compris.

Pour les étudiantes et étudiants qui seraient très  à l’aise avec les outils préhilbertiens  on peut aussi donner en second exercice un exercice sur l’approximation en norme infinie (théorème de Weierstrass)  : seul exemple d’application traité en classe le théorème de Riemann Lebesgue. On a aussi vu pourquoi une suite de fonctions polynomiales qui CvU sur R entier ne peut converger que vers une fonction polynomiale/

Sur la Planche-T3-2025-2026 nous n’avons traité en classe que les exercices 6 à 10 et 15 et 16.  (Les 5/2 ont traité le début de la planche, vous pouvez les embêter avec Weierstrass). Les exercices de la banque CCINP cités en haut de planche doivent aussi être bien travaillés. Certains  ont l’inconvénient de faire calculer les projections orthogonales avec des astuces adhoc plutôt qu’avec la formule générale.

Pour la semaine suivante, et donc aussi à travailler pendant les vacances, reprendre les deux chapitres d’intégration I1 et I2 ; les vérifications d’intégrabilité ne doivent plus avoir de secrets pour vous, pas plus que les théorèmes de Lebesgue : leurs hypothèses et la façon de les utiliser. C’est aussi très important pour assimiler la dernière livraison de théorèmes de Lebesgue qui viendra avec le chapitre I3 lors de la semaine de la rentrée. Donc ce sera essentiel pour redémarrer du bon pied.

Bonjour,

En pièce jointe vous trouverez le rapport du concours Mines que je vous demande de lire pour la rentrée.
Passez de très bonnes vacances, festoyez mais reposez-vous aussi !
Au plaisir de vous retrouver en 2026.

V. Moutot-Narcisse

Extraits rapport Mines 2025

Semaine 12 du lundi 15 décembre Suites d’intégrales : convergence dominée et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du  chapitre I1 sur l’intégralibilité , notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Des questions  possibles (favoriser notamment les énoncés précis des théorèmes !) 

• Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lesquels sait-on démontrer 🙂 ?
  • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
• Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de
• Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de :
• Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
• Savoir qu’il y a dans le programme 3 théorèmes d’intégration terme à terme et savoir les citer !
• Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
  • • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
    •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
    • application au calcul de l’intégrale de e^{it}/(a-e^{e^{it}} pour a dans C privé du cercle (indice de a par rapport au cercle)
• Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !
• Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
• Planche I2 : Planche-I2-2025-2026,  nous avons traités les exercices 1 à 5 (sauf le cas a>1 de l’ex 4 plus difficile) sur la convergence dominée et seulement 8 et 9 sur l’intégration terme à terme mais nous poursuivons en début de semaine sur l’intégration terme à terme.

BONNE SEMAINE, AVEC LES VACANCES A LA FIN DE LA SEMAINE !

Série entières :

Dans le cours :

• Lemme d’Abel, dém. et (prop.-)-définition du rayon de convergence.
• Lemme de d’Alembert pour les séries entières : dém. avec le lemme pour les séries numériques.
• Prop. ;  ont même rayon de convergence (au programme officiel pour alpha=1, démontrée, pour pas plus cher pour alpha réel quelconque, démo « bonus » : ne pas pénaliser les étudiants que ne l’aurait pas bien maîtrisée en première semaine)
• Rayon de convergence d’une somme
• Produit  de deux sommes de séries entières , produit de Cauchy des coefficients.
• Continuité de la fonction somme dans le disque ouvert de convergence (dém).
• Pour ce qui est de la variable  réelle :
  • Dérivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de convergence  pour les sommes de séries entières (dém !)
  • unicité des coefficients du D.S.E., série de Taylor, rigidité des fonctions D.S.E. (dém.) 
  • application au caractère C^infini automatique de fonctions comme le sinus cardinal en 0.
  • intégration et primitivation terme à terme automatique à l’intérieur de l’intervalle de Cv : application au D.S.E. de ln(1+x)
  • théorème d’Abel radial (admis) ; savoir l’application pour montrer que la somme de la série harmonique alternée vaut ln(2).
  • DSE des fonctions usuelles : preuve de la formule du binôme (1+x)^a pour a réel avec la méthode de l’E.D.

Sur la Planche-S3-2025-2026 :  ont été travaillés les exercices 1,2, 3 a) (rayon de Cv), ex 9, 10 (calculs de sommes) et 11, 12, 13 (calculs de D.S.E.). On approfondira les autres exercices la semaine prochaine.

Sur la banque CCINP : les élèves doivent travailler au moins 4 exercices, leur demander lesquels ont été travaillés.

Bonne semaine !

Suites et séries de fonctions.

Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration d’une limite uniforme sur un segment, interversion des limites, déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

• On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle. On attend  du soin sur ces énoncés !
• Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues (idée importante  « couper en trois » et attention à l’ordre des choix).
• Démonstration (facile !) du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
• Le théorème d’interversion des limites a été admis : l’énoncé doit être bien restitué en version suite et en version séries (« sommation des limites »).
• Exemple de la fonction zeta réelle : plusieurs questions possibles : continuité,  caractère C infini, limite à l’infini 
• Cas où le théorème d’interversion des limites ne s’applique pas : comment montrer que zeta(x) tend vers l’infini quand  x tend vers 1 avec la déf de la limite (question plus difficile bonus ci-dessous méthode plus simple avec l’équivalent).
• Exemple de la suite des fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R
• Recherche d’équivalent de la somme d’une série de fonction :
  • Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta (encore elle !)
  • Méthode qui ramène à l’application du théorème d’interversion des limites en divisant par le candidat équivalent faite sur la somme des x/(n^a (1+nx^2))
• Exercice de la Planche-S2-2025-2026 :   les ex 1 à 6 et 9 et 10 ont été traités et donnent déjà pas mal d’exemples de méthodes. On traitera sûrement 11 et 12 en début de semaine.
• Exercice de la banque CCINP ; il y en a beaucoup (cf. haut de la pl S2) : les élèves doivent en travailler au moins 4 pour cette semaine, leur demander ceux qu’ils ont travaillés.

Bonne semaine !

Semaine 9 : du lundi 24 novembre : intégrales généralisées et (si possible)  compléments sur les applications linéaires continues.

1. On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .

2.  Thème d’Exercices possibles : 

–Notion d’intégrale généralisée  convergente/divergente sur un intervalle I.

-Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

-Exemple d’intégrale semi-convergente : cas de sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer. Savoir justifier que l’intégrale du sinus cardinal sur [1,+infini[ est convergente et non absolument convergente.

-Pratique des IPP et changement de variables.

-Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

On attend un travail personnel de révision  des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année,  tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.

Planche I1 : Planche-I1-2025-2026 on aura traité les exercices 1, 2, 3 et 5. Voir aussi les exercices de la banque cités en haut de planche.

3) Pour les élèves les plus rapides : on peut interroger, en restant très proche du cours, sur les applications linéaires continues et les normes subordonnées.

Question de cours :

-définitions équivalentes de la continuité d’une application linéaire

-définition équivalentes des normes subordonnées

-les normes subordonnées sont des normes d’algèbre

-si l’espace de départ est de dim. finie les applications linéaires sont toujours continues.

Exemples sur la banque CCINP ex 1, 36, 38, 39.

Bonne semaine !

 Ouverts, fermés, continuité 

Topologie des e.v. normés, avec comme QdC possibles :

• définitions et caractérisations de  (au choix des personnes qui interrogent)  ouvert, fermé, adhérences, intérieurs…
• Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
• Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
• Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
• Caractérisation séquentielle des points adhérents.
• Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire (etc)
• Ouverts et fermés relatifs, déf. et caractérisation admise.
• déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages.
• caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  si f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. avec fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
• Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
• Sur la planche T2 : les exercices 1 à 14 sauf 7.  Planche-T2-2025-2026. 

Le paragraphe sur les applications linéaires continues et normes d’opérateurs n’a pas encore été vu.

Bonne semaine à tout le monde.